** Distorsion du volume géodesique et courbure de Ricci en géométrie sous-riemannienne **

Avec Agrachev et Paoli.

**1. Position du problème **

La bonne généralité, c’est les flots hamiltoniens avec hamiltonien quadratique.

Soit un domaine, un point hors de . Soit le lieu des points situés sur les segments géodésiques reliant aux point de et partageant ces segments suivant les proportions et . On s’intéresse au volume de , notamment à son comportement asymptotique lorsque est petit et proche de .

** 1.1. Formule riemannienne classique **

Dans le cas riemannien, on utilise le développement limité de la métrique en coordonnées normales de centre . Le terme quadratique est donné par la courbure sectionnelle. Quand on passe à l’élément de volume, celle-ci est moyennée, elle est remplacée par la courbure de Ricci.

** 1.2. Densités **

Une généralisation facile : une densité au lieu de l’élément de volume, i.e. .

où ets est le segment géodésique de vitesse initiale .

La dépendance en est celle en la courbure sont découplées. On peut aussi regrouper les termes différemment pour faire appara\^{\i}tre le tenseur de Bacry-Emery.

**2. Cas sous-riemannien **

** 2.1. Cadre hamiltonien **

On se donne un hamiltonien de la forme

où les sont des champs de vecteurs, sont linéairement indépendants, et une conditon de Hörmander faible est satisfaite :

Pour les besoins de l’exposé, on se limite au cas sous-riemannien, i.e. et .

L’analogue de l’exponentielle , c’est , où est la projection , est le champ de vecteur hamiltonien associé à et l’exponentielle est une notation pour le flot qu’il engendre.

** 2.2. Résultat **

On s’intéresse à la restriction de la -forme au sous-espace vertical du bitangent.

Theorem 1Soit un point régulier pour l’application (d’autres hypothèses sur arriveront plus loin). Soit . Soit . Alors il existe une constante est un entier tels que

Ici, désigne la mesure de Lebesgue sur obtenue par dualité à partir de .

On voit que la dépendance par rapport à et le terme en courbure restent découplés. Je vais détailler plus loin la dépendance du terme dimensionnel par rapport à la direction .

** 2.3. Hypothèses supplémentaires **

Soit une extension du champ de vecteurs vitesse de . On introduit le drapeau de sous-espaces vectoriels

On demande que le drapeau soit lisse (équirégularité) et que le dernier sous-espace soit égal à . Ces conditions garantissent que la géodésique n’est pas anormale, mais elles sont plus fortes. Noter que l’ensemble des covecteurs amples et équiréguliers est un ouvert dense et non vide, mais son intersection avec un espace tangent peut être vide.

Dans ce cas,

Ce nombre est toujours supérieur ou égal à la dimension de Hausdorff. On retrouve l’exposant 5 trouvé par Juillet pour le groupe d’Heisenberg. Si est une boule de centre , est un sous-ensemble très petit dans la boule de rayon .

La constante appara\^{\i}t dans nos travaux antérieurs avec Boscain et al.

** 2.4. Cas contact **

Dans le cas d’une structure de contact, on introduit la structure presque complexe qui relie la métrique à la forme symplectique. Alors est la dérivée du log de la norme du champ de vecteur .

Dans ce cas, la constante .

** 2.5. La courbure **

Voir Agrachev-Barilari-Rizzi. Elle appara\^{\i}t dans le développement à l’ordre 2 de la hessienne horizontale du carré de la distance.