Notes of Davide Barilari’s march 2016 lecture

Distorsion du volume géodesique et courbure de Ricci en géométrie sous-riemannienne

Avec Agrachev et Paoli.

1. Position du problème

La bonne généralité, c’est les flots hamiltoniens avec hamiltonien quadratique.

Soit {\Omega} un domaine, {x} un point hors de {\Omega}. Soit {\Omega_{x,t}} le lieu des points situés sur les segments géodésiques reliant {x} aux point de {\Omega} et partageant ces segments suivant les proportions {t} et {1-t}. On s’intéresse au volume de {\Omega_{x,t}}, notamment à son comportement asymptotique lorsque {\Omega} est petit et {x} proche de {\Omega}.

1.1. Formule riemannienne classique

Dans le cas riemannien, on utilise le développement limité de la métrique en coordonnées normales de centre {x}. Le terme quadratique est donné par la courbure sectionnelle. Quand on passe à l’élément de volume, celle-ci est moyennée, elle est remplacée par la courbure de Ricci.

\displaystyle  \begin{array}{rcl}  (\exp_{x}^{*} vol_g)(tv)=t^n(1-\frac{1}{6}Ricci^g(v,v)t^2 +o(t^2))vol_{T_x M}. \end{array}

1.2. Densités

Une généralisation facile : une densité au lieu de l’élément de volume, i.e. {\mu=e^\psi vol_g}.

\displaystyle  \begin{array}{rcl}  (\exp_{x}^{*} vol_g)(tv)=t^n e^{\int_{0}^{t}\rho(\gamma(s)\,ds}(1-\frac{1}{6}Ricci^g(v,v)t^2 +o(t^2))vol_{T_x M}, \end{array}

{\rho(v)=\langle\nabla\phi(x),v\langle} ets {\gamma} est le segment géodésique de vitesse initiale {v}.

La dépendance en {\mu} est celle en la courbure sont découplées. On peut aussi regrouper les termes différemment pour faire appara\^{\i}tre le tenseur de Bacry-Emery.

2. Cas sous-riemannien

2.1. Cadre hamiltonien

On se donne un hamiltonien de la forme

\displaystyle  \begin{array}{rcl}  H(p,x)=\frac{1}{2}\sum(p\cdot X_i(x))^2 + p\cdot X_0(x)+\frac{1}{2}Q(x), \end{array}

où les {X_i} sont des champs de vecteurs, {X_1,\ldots,X_k} sont linéairement indépendants, et une conditon de Hörmander faible est satisfaite :

\displaystyle  \begin{array}{rcl}  Lie_x\{(ad X_0)^j(X_i)\,;\,i=1,\ldots,k,\,j\geq 0\}=T_x M. \end{array}

Pour les besoins de l’exposé, on se limite au cas sous-riemannien, i.e. {X_0=0} et {Q=0}.

L’analogue de l’exponentielle {\exp_{x,t}(v)}, c’est {\pi\circ e^{t\xi}}, où {\pi} est la projection {\pi:T^*M\rightarrow M}, {\xi} est le champ de vecteur hamiltonien associé à {H} et l’exponentielle est une notation pour le flot qu’il engendre.

2.2. Résultat

On s’intéresse à la restriction de la {n}-forme {(\pi\circ e^{t\xi})^*\mu} au sous-espace vertical du bitangent.

Theorem 1 Soit {\lambda\in T^*_xM} un point régulier pour l’application {\pi\circ e^{t\xi}} (d’autres hypothèses sur {\lambda} arriveront plus loin). Soit {\gamma(t)=\pi\circ e^{t\xi}(\lambda)}. Soit {V_\lambda=T_\lambda T^*_xM\subset T_\lambda T^*M\sim T_x^*M}. Alors il existe une constante {\lambda} est un entier {N(\lambda)} tels que

\displaystyle  \begin{array}{rcl}  (\pi\circ e^{t\xi})^*\mu_{|V_\lambda}=c_\lambda t^{N(\lambda)}e^{\int_{0}^{t}\rho(\gamma(s)\,ds}(1-\frac{1}{6}\mathrm{trace}(R_\lambda)t^2 +o(t^2))\hat{\mu}_{T_x M}. \end{array}

Ici, {\hat{\mu}_{T_x M}} désigne la mesure de Lebesgue sur {V_\lambda} obtenue par dualité à partir de {\mu_{T_x M}}.

On voit que la dépendance par rapport à {\mu} et le terme en courbure restent découplés. Je vais détailler plus loin la dépendance du terme dimensionnel {c_\lambda t^{N(\lambda)}} par rapport à la direction {\lambda}.

2.3. Hypothèses supplémentaires

Soit {T} une extension du champ de vecteurs vitesse de {\gamma}. On introduit le drapeau de sous-espaces vectoriels

\displaystyle  \begin{array}{rcl}  \mathcal{F}_{\gamma(t)}^{i}=\mathrm{span}\{[T,\ldots,[T,X]\ldots]\,;\,X\,\textrm{horizontal}\}. \end{array}

On demande que le drapeau soit lisse (équirégularité) et que le dernier sous-espace soit égal à {T_xM}. Ces conditions garantissent que la géodésique {\gamma} n’est pas anormale, mais elles sont plus fortes. Noter que l’ensemble {\mathcal{A}} des covecteurs amples et équiréguliers est un ouvert dense et non vide, mais son intersection avec un espace tangent {T_x M} peut être vide.

Dans ce cas,

\displaystyle  \begin{array}{rcl}  N(\lambda)=\sum_{i} (2i-1)(\mathrm{dim}(\mathcal{F}_{\lambda}^{i}-\mathrm{dim}(\mathcal{F}_{\lambda}^{i-1})). \end{array}

Ce nombre est toujours supérieur ou égal à la dimension de Hausdorff. On retrouve l’exposant 5 trouvé par Juillet pour le groupe d’Heisenberg. Si {\Omega} est une boule de centre {x}, {\Omega_{x,t}} est un sous-ensemble très petit dans la boule de rayon {t}.

La constante {c_\lambda} appara\^{\i}t dans nos travaux antérieurs avec Boscain et al.

2.4. Cas contact

Dans le cas d’une structure de contact, on introduit la structure presque complexe {J} qui relie la métrique à la forme symplectique. Alors {\rho(\lambda)} est la dérivée du log de la norme du champ de vecteur {J\dot{\gamma}(t)}.

Dans ce cas, la constante {C_\lambda=\frac{1}{12}}.

2.5. La courbure

Voir Agrachev-Barilari-Rizzi. Elle appara\^{\i}t dans le développement à l’ordre 2 de la hessienne horizontale du carré de la distance.

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metric2011 is a program of Centre Emile Borel, an activity of Institut Henri Poincaré, 11 rue Pierre et Marie Curie, 75005 Paris, France. See http://www.math.ens.fr/metric2011/
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