Notes of Emmanuel Trelat’s lecture

Asymptotique du spectre sous-riemannien

Avec Luc Hillairet et Yves Colin de Verdière.

Nos résultats sont très partiels. Le cas équirégulier marche mais on aimerait aller plus loin. Cela conduit à une nouvelle notion de volume.

1. Les laplaciens sous-riemanniens

1.1. Notations

Etant donnée une structure sous-riemannienne {(M,D,g)} (par exemple, une forme quadratique positive non définie sur le cotangent) et une mesure lisse {\mu}, on définit le laplacien

\displaystyle  \begin{array}{rcl}  \Delta_{\mu,g}=div_\mu \nabla^g. \end{array}

C’est l’extension de Friedrichs associée à l’intégrale de Dirichlet

\displaystyle  \begin{array}{rcl}  \int |d\phi|_{g^*}\,d\mu. \end{array}

Si {(X_i)} est un champ de repères orthonormé, alors

\displaystyle  \begin{array}{rcl}  \Delta_{\mu,g}=-\sum_i X_i^* X_i=-\sum_i X_i^2 +div_\mu(X_i)X_i. \end{array}

Sous l’hypothèse de Hörmander, {\Delta_{\mu,g}} est hypoelliptique. Cela signifie que son inverse gagne un chouïa de régularité dans l’échelle de Sobolev. Par conséquent, sur une variété compacte, {\Delta_{\mu,g}} a un spectre discret, i.e. une suite de valeurs propres {\lambda_1<\lambda_2\leq\cdots\leq \lambda_j} (avec multiplicité) et de fonctions propres {\phi_j}.

1.2. Parenthèse microlocale

{\phi_j^2\,d\mu} est une suite de mesures de probabilité qui possède des limites faibles. On les appelle les mesures quantiques. Ces mesures possèdent des relèvements canoniques dans le cotangent. En effet, à chaque fonction {a} sur le cotangent est associée un opérateur pseudodifférentiel {Op(a)} sur les fonctions sur la base (il y a plusieurs choix, faisons-en un). On définit une mesure sur le cotangent par

\displaystyle  \begin{array}{rcl}  \mu_j(a)=\langle Op(a)\phi_j,\phi_j\rangle_{L^2}. \end{array}

Le comportement des limites (concentration éventuelle) est largement inconnu. Il y a quelques exemples intégrables qui sont bien connus. Lorsque le flot géodésique est ergodique, on s’attendait à ce que toute mesure limites soit Lebesgue, mais ce n’est pas vrai.

1.3. Invariants spectraux

La fonction de comptage {N(\Lambda)} est le nombre de valeurs propres {\leq\lambda}.

On espère qu’en faisant des moyennes de Cesaro, on arrive à faire converger les mesures associées aux fonctions propres.

Definition 1 La mesure locale de Weyl est la mesure de probabilité sur {M} définie par

\displaystyle  \begin{array}{rcl}  \int f\,dw_{\Delta}=\lim_{\lambda\rightarrow\infty}\frac{1}{N(\lambda)}\sum_{\lambda_j\leq\lambda}\int f|\phi_j|^2\,d\mu. \end{array}

lorsqu’elle existe.

La mesure microlocale de Weyl est la mesure de probabilité sur {S^*M=S(T^*M)} définie par

\displaystyle  \begin{array}{rcl}  \int a\,dW_{\Delta}=\lim_{\lambda\rightarrow\infty}\frac{1}{N(\lambda)}\sum_{\lambda_j\leq\lambda}\langle Op(a)\phi_j,\phi_j\rangle_{L^2}, \end{array}

lorsqu’elle existe.

1.4. La conjecture d’ergodicité quantique

La conjecture d’ergodicité quantique : est-ce que, pour un ensemble d’indices de densité un, {\phi_j^2\,d\mu} converge ?

La conjecture d’ergodicité quantique unique : est-ce que la suite {\phi_j^2\,d\mu} converge ? Paraît hors de portée.

La densité facilite la vie, comme le montre le Lemme suivant.

Lemma 2 (von Neumann-Koopman) Si, étant donnée une suite bornée de nombres positifs, la moyenne de Cesaro temps vers 0, alors la suite tend vers 0 le long d’un ensemble d’indices de densité 1.

On aimerait montrer davantage : pour tout opérateur {Op(a)}, l’espérance coïncide avec l’intégrale selon {W}, et la variance vaut 0.

2. Résultats

2.1. Nos résultats de 2014

Theorem 3 {M} variété compacte de dimension 3. Alors {w_\Delta} coincide avec la mesure de Popp normalisée. Quant à {W_\Delta}, c’est la moyenne des deux mesures {\hat{\nu}_1} est {\hat{\nu}_{-1}} obtenues en relevant Popp normalisée aux deux sous-variétés du cotangent, graphes de {\pm} la forme de contact.

2.2. Travaux récents

Theorem 4 (Loi locale de Weyl) On suppose la structure équirégulière (i.e. le drapeau engendré par les crochets de sections de {D} est de rangs constants). La mesure de Weyl {w_\Delta} s’exprime en fonction de la mesure de Popp,

\displaystyle  \begin{array}{rcl}  dw_\Delta=e(1,0,0)dP, \end{array}

{e} est le noyau de la chaleur pris au temps 1 et à l’origine pour un certain laplacien sur le groupe de Carnot tangent, et une certaine mesure sur ce groupe, les nilpotentisés de {\Delta} et de {\mu}.

Question. Quand est-ce que la densité {f(q)=e(1,0,0)} est constante ?

Lemma 5 {f} est constante si et seulement si les cones tangents sont deux isométriques, i.e. si et seulement si le groupe d’isométries est transitif.

C’est le cas pour toutes les structures équirégulières de dimension {\leq 5} sauf un, le groupe d’Heisenberg de dimension 5.

2.3. Cas équisingulier

Cela signifie qu’il existe une stratification compatible avec les chutes de dimensions des espaces du drapeau (c’est automatiquement le cas si la structure est analytique réelle).

Lorsque les rangs ne chutent que d’une unité à la fois (e.g. Martinet, Grushin), on montre que {w_\Delta} est proportionnelle avec la mesure de Popp adaptée au cas singulier.

Exemple. Pour Martinet, {N(\lambda)\sim \lambda^2\log\lambda}. Pour Grushin, {N(\lambda)\sim \lambda\log\lambda}.

Remarque. {W_\Delta} founirait un choix naturel de mesure sur l’espace des géodésiques.

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metric2011 is a program of Centre Emile Borel, an activity of Institut Henri Poincaré, 11 rue Pierre et Marie Curie, 75005 Paris, France. See http://www.math.ens.fr/metric2011/
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