Notes of Samuel Lelièvre’s Orsay lecture

Groupes aléatoires

avec Moon Duchin, Kasia Jankiewicz, Shelby Kilmer, John Mackay, Andrew Sánchez. Résultat d’un cluster d’undergraduates qui a eu lieu l’an dernier à Tufts, Boston (12 participants, 6 semaines).

1. Le modèle à densité de Gromov

Dans la sphère de rayon {\ell} {S_\ell} du groupe libre {F_m}, on tire uniformément et indépendamment au hasard {n} éléments. On considère le sous-groupe distingué {N} qu’ils engendrent, et le groupe quotient {G=F_m/N}.

Obtient on des groupes non isomorphes ? Pas clair, il ne s’agit pas du tirage au hasard d’une classe d’isomorphisme de groupe de présentation {(m,n)}. On va voir que dans certains régimes, le groupe obtenu est en général trivial !

Pourquoi la sphère ? Ca aide beaucoup. De toutes fa\c cons, dans la boule, la plupart des éléments sont au bord.

Terminologie. On appelle densité du tirage le réel {d} tel que

\displaystyle  \begin{array}{rcl}  n=|S_{d\ell}|. \end{array}

Autrement dit, on tire non pas une fraction {d}, mais une puissance {d} du nombre total d’éléments.

Etant donnée une fonction {n\mapsto N(\ell)}, on dit qu’une propriété des groupes est asymptotiquement presque s\^ ure si la probabilité qu’elle ait lieu tend vers 1 lorsque, à {m} fixé et {n=N(\ell)}, loorsque {\ell} tend vers l’infini.

Comment choisir {\ell\mapsto N(\ell)} ? Il semble que fixer la densité, i.e. prendre {n=(2m-1)^{d\ell}}, est un bon choix.

Theorem 1 (Gromov 1993)

  1. Si {d>\frac{1}{2}}, alors asymptotiquement presque s\^ urement {G} a au plus 2 éléments.
  2. Si {d<\frac{1}{2}}, alors asymptotiquement presque s\^ urement, {G} est infini, hyperbolique, sans torsion, de dimension 2, et contient des groupes de surfaces.

Il y a d’autres effets de seuil connus,

  1. à {d=\frac{1}{5}} propriété de Dehn,
  2. à {d=\frac{1}{5}} propriété {C'(\frac{1}{6})}.
  3. entre {d=\frac{1}{5}} et {\frac{1}{3}}, propriété (T) de Kazhdan.

2. Résultats

Theorem 2 (DJKLMS 2015) On s’intéresse à la densité convergeant vers {\frac{1}{2}}, {d(\ell)=\frac{1}{2}-f(\ell)}.

  1. Si {f(\ell)\leq \frac{\log\ell}{4\ell}-\frac{\log\log\ell}{\ell}}, alors asymptotiquement presque s\^ urement {G} a au plus 2 éléments.
  2. Si {f(\ell)\geq 10^5 \frac{(\log\ell)^{1/3}}{\ell^{1/3}}}, alors asymptotiquement presque s\^ urement, {G} est infini, hyperbolique,.

3. Démonstrations

3.1. C\^oté trivial

On s’est appuyés sur des notes de Gady Kozma. Il s’agit d’augmenter la densité effective. Si deux relateurs ont une branche commune longue et des parties restantes courtes, leur différence est un petit relateur. On voit {G} comme un quotient d’un groupe aléatoire avec longueur {\ell} plus petite, et densité plus grande que {\frac{1}{2}}, c’est gagné.

Principe des tiroirs probabiliste : si {\ell\rightarrow\infty} et {n\rightarrow\infty} avec {n=o(\sqrt{\ell})}, alors asymptotiquement presque s\^ urement, il y a une coïncidence quand on range {\ell} objets dans {n} tiroirs.

On analyse l’influence des lettres les unes sur les autres dans des mots aléatoires. On pose {\mu=\frac{1}{2m-1}},

\displaystyle  \begin{array}{rcl}  S_n=\sum_{k=0}^{n-1}(-\mu)^k \rightarrow \frac{1}{1+\mu}. \end{array}

On écrit un mot aléatoire {x_0x_1\ldots x_n\ldots}. Pour {n} pair,

\displaystyle  \begin{array}{rcl}  \mathop{\mathbb P}(x_n=x_0)=\mu S_{n-1},\quad \mathop{\mathbb P}(x_n=y\not=x_0)=\mu S_n. \end{array}

Pour {n} impair,

\displaystyle  \begin{array}{rcl}  \mathop{\mathbb P}(x_n=x_0^{-1})=\mu S_{n-1},\quad \mathop{\mathbb P}(x_n=y\not=x_0^{-1})=\mu S_n. \end{array}

Par conséquent, toutes ces probabilités tendent vers {\frac{\mu}{1+\mu}=\frac{1}{2m}}.

Proposition 3 S’il existe une fonction {\ell\mapsto k(\ell)\leq \ell} telle que

  1. {k-2\ell f(\ell)\rightarrow\infty},
  2. {\frac{\ell-2}{(2k+2)(2m-1)^{2k}}\rightarrow\infty},

alors asymptotiquement presque s\^ urement, {|G|\leq 2}.

En effet, avec le principe des tiroirs probabiliste et la première condition, on trouve un mot réduit {w} de longueur {2k} dans {F_m} tel que {w=1} dans {G}. On l’utilise pour réduire les autres relateurs. Pour cela, on observe que la queue (de {k+1} à {\ell}) d’un mot tiré au hasard est un mot de longueur {\ell-k} tiré au hasard. Le PTP donne deux relateurs aléatoires dont les queues coincident mais qui diffèrent à la {k}-ème lettre, on considère leur différence, qui est de longueur {2k}. On note {R_w} les mots du tirage qui commencent par {w}. Pour {x,y,z} des lettres, {R_{xz}} et {R_{yz}} sont typiquement disjoints et non vides, cela donne une partition en {2m(2m-1)} sous ensembles…

3.2. C\^oté infini hyperbolique

On suit le livre de Yann Ollivier. Il s’agit d’estimer la probabilité qu’il existe un diagramme de van Kampen de taille {\leq K} qui viole une inégalité isopérimétrique quadratique avec petite constante. Pour contr\^oler les effets de dépendance, Ollivier compte des diagrammes abstraits (cellulations du plan) et estime la probabilité qu’un diagramme abstrait de taille {\leq K} soit réalisable par l’ensemble de relateurs tiré au hasard (i.e. qu’on puisse coller des étiquettes aux arêtes de sorte que les mots qu’on lit sur les bords des faces sont des conjugués cycliques des relateurs tirés). On utilise sans changement son estimation de probabilité de réalisation, on n’a besoin de retravailler que son décompte de diagrammes abstraits.

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metric2011 is a program of Centre Emile Borel, an activity of Institut Henri Poincaré, 11 rue Pierre et Marie Curie, 75005 Paris, France. See http://www.math.ens.fr/metric2011/
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