Notes of Jean-Baptiste Caillau’s lecture

Approximation of controlled mechanical systems by Riemannian metrics and generalisations

1. Systèmes rapidement oscillants

Donnée : {n} champs de vecteurs, minimisation de la norme {l^2} du contr\^ole. Ou au contraire, à contr\^oles bornés par 1, minimiser le temps. Pour des champs indépendants du temps, c’est équivalent. Si les champs dépendent du temps, de façon rapidement oscillante, cela donne deux problèmes distincts.

– minimiser le coût {L^2}. Le petit paramètre est l’inverse du temps d’arrivée.

– contr\^oles bornés par {\epsilon} petit, on s’intéresse à l’asymptotique en temps grand du temps.

Dans le premier cas, les extrémales sont gouvernées par le hamiltonien

\displaystyle  \begin{array}{rcl}  H=\frac{1}{\omega}(p^0|u|^2+\sum_i u_i<p,F_i(\ell,x)). \end{array}

Pour homogéné\”\i ser, on introduit le hamiltonien moyennisé

\displaystyle  \begin{array}{rcl}  \bar{H}=\int_0^{2\pi}\frac{1}{2\omega}\sum_{i=1}^n <p,F_i(\ell,x)\,d\ell. \end{array}

Il converge vers un coût presque riemannien.

Dans le second cas, le hamiltonien moyennisé est

\displaystyle  \begin{array}{rcl}  \bar{H}=\int_0^{2\pi}\frac{\epsilon}{2\pi}\sqrt{\sum_{i=1}^n <p,F_i(\ell,x)}\,d\ell. \end{array}

Il converge vers une métrique de Finsler.

2. Potentiel newtonien

{V(q)=-\frac{1}{|q|}} dans {{\mathbb R}^2}. On se place dans le cas où l’énergie {E=\frac{1}{2}|\dot{q}|^2 -\frac{1}{|q|}<0}, i.e. les trajectoires libres sont des ellipses, avec moment cinétique {C=q\wedge \dot{q}>0}. On change de coordonnées {x=(a,e,\theta)}{a} est le demi grand axe, {e} l’excentricité et {\theta} la position du péricentre. Alors l’équation du mouvement est de la forme {\dot{x}=\sum_i u_i F_i(\ell,x)}{\dot{\ell}=\omega(\ell,x)}.

3. Minimisation de l’énergie, 2 contr\^oles

Après intégration en {\ell}, le hamiltonien moyenné se prolonge de {{\mathbb R}_+^* \times(0,1)\times S^1} à {{\mathbb R}_+^* \times S^2}. En effet, on écrit {e=\sin\phi} et {\bar{H}} s’écrit bien en fonction de {\phi}.

Theorem 1 (Edelbaum 1964) {\bar{H}} définit une métrique riemannienne sur {{\mathbb R}_+^* \times S^2}, intégrable.

Cette métrique n’est pas complète, il y a une singularité non convexe le long d’un demi-plan méridien.

Theorem 2 (Tanaka 2007) Par projection sur {S^2} (c’est la “sphère des ellipses”), on obtient une métrique de révolution symétrique.

Un théorème classique affirme que si la courbure est fonction croissante de la distance au p\^ole nord, le lieu de coupure d’un point est un arc passant par le point antipode.

Ce n’est pas le cas ici. C’est un autre critère qui s’applique.

Theorem 3 (Bonnard, Caillau, Tanaka) Soit {\Delta\theta} la variation de l’angle {\theta} sur une période de l’angle {\phi} (application de premier retour). Si {\Delta\theta} est décroissante et convexe,

– le lieu de coupure d’un point est un arc passant par le point antipode.

– le lieu conjugué d’un point est astro\”\i dal.

4. Minimisation de l’énergie, un seul contr\^ole, radial

{\bar{H}} est presque riemannienne, intégrable. Il y a en plus une singularité équatoriale, les géodésique arrivent perpendiculairement sur l’équateur. Le p\^ole est d’ordre 2 (les crochets d’ordre 2 engendrent tout).

Theorem 4 (Bonnard, Caillau, Tanaka) Si {\Delta\theta} est décroissante et convexe,

Hors de la singularité (équateur), c’est pareil,

– le lieu de coupure d’un point est un arc passant par le point antipode.

– le lieu conjugué d’un point est astro\”\i dal.

En la singularité,

– le lieu de coupure est l’équateur pointé.

– le lieu conjugué a 4 cusps tangents à des méridiens. Il est en forme de double coeur.

Le long de l’équateur, il y a concentration de courbure positive. On peut aussi interprèter le bord comme un réflecteur.

5. Minimisation du temps

Du fait de la racine carrée, {\bar{H}} est Finsler.

Theorem 5 (Pomet 2013) Sous des hypothèses ad hoc, convergence des trajectoires. La métrique Finsler est convexe.

Mais pas de bonne projection sur {S^2}.

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metric2011 is a program of Centre Emile Borel, an activity of Institut Henri Poincaré, 11 rue Pierre et Marie Curie, 75005 Paris, France. See http://www.math.ens.fr/metric2011/
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