Notes of Frederic Jean’s lecture

Volume de Hausdorff en géométrie sous-riemannienne

Avec Roberta Ghezzi.

1. Volumes

{M} variété de dimension {n}, {\Delta} sous-fibré de {TM}, {d} la distance sous-riemannienne associée (Carnot-Carathéodory). On construit les sous espaces {\Delta^s} par récurrence : {\Delta^{s+1}=[\Delta,\Delta^s]}.

1.1. La mesure de Hausdorff

La {\alpha}-mesure de Hausdorff {\mathcal{H}^\alpha(A)} d’un sous-ensemble {A} est la limite, quand {\epsilon} tend vers 0, de l’inf sur tous les recouvrements de {A} de la somme des diamètres élevés à la puissance {\alpha}. Si on insiste pour recouvrir par des boules, on obtient la {\alpha}-mesure de Hausdorff sphérique {\mathcal{S}^\alpha(A)}.

1.2. Le cas équirégulier

On suppose que {\Delta} satisfait la condition de Chow-Hörmander, i.e. qu’il existe {r} tel que {\Delta^r=TM}. Dans le cas équirégulier (les espaces du drapeau forment des sous-fibrés), le théorème ball-box encadre les boules par des parallélépipèdes dans des coordonnées adaptées (on cite en général Mitchell, mais la bonne référence est Bellaïche). Il en résulte que la dimension de Hausdorff {Q} est un entier, et que {\mathcal{Q}^\alpha} a une densité bornée (et d’inverse borné) localement par rapport à tout volume lisse.

2. Le cas non équirégulier

On fait l’hypothèse que le lieu singulier {\Sigma} (lieu des points au voisinage desquels les dimensions des sous-espaces {\Delta^s} ne sont pas constantes) est de mesure nulle. Donc la dimension de Hausdorff {Q} ne peut prendre qu’un nombre fini de valeurs localement, des entiers. Donc un volume {vol_H=\mathcal{S}^Q}.

Theorem 1 La décomposition {vol_H={vol_H}_{|Reg}+{vol_H}_{|\Sigma}} est la décomposition de Lebesgue de {vol_H} par rapport à un volume lisse, i.e. {{vol_H}_{|Reg}} est absolument continue et {{vol_H}_{|\Sigma}} est singulière.

2.1. Densité bornée ?

Il peut arriver que la dimension de Hausdorff du lieu singulier soit {>} à celle du lieu régulier. On va supposer que ce n’est pas le cas. On s’intéresse à la densité {\rho} de {{vol_H}_{|Reg}} par rapport à un volume lisse. Elle est finie sur le lieu régulier. Si la dimension est localement constante, elle est strictement positive. En revanche, dès que {\Sigma\not=\emptyset}, elle n’est pas bornée.

Theorem 2 La densité {\rho} de {{vol_H}_{|Reg}} par rapport à un volume lisse (une {n}-forme {\omega}) est {\sim 1/\nu}, où, pour tout point {q}, si on note {X_1,\ldots,X_n} des champs de vecteurs engendrant {\Delta},

\displaystyle  \begin{array}{rcl}  \nu(q)=\max\{\omega(X_{I_1},\ldots,X_{I_n})(q)\,;\,\sum_i I_i =Q\} \end{array}

2.2. Densité {L^1} ?

La densité {\rho} n’est pas toujours {L^1_{loc}}. C’est le cas si et seulement si le le volume de Hausdorff des boules est fini.

Theorem 3 Condition nécessaire et suffisante, algébrique, pour que le volume de Hausdorff des boules soit fini.

2.3. Conséquences

Si le lieu singulier contient une hypersurface, alors le volume des boules est infini.

Dans le cas {C^\infty} générique,

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