Notes of Michel Ledoux Orsay lecture

Comment la diffusion de la chaleur explore des inégalités fonctionnelles et géométriques

Des propriétés de monotonie de l’équation de la chaleur. Ancien, mais regain d’intér\^et motivé par l’analyse harmonique booléenne et l’informatique théorique.

1. L’équation de la chaleur dans {{\mathbb R}^n}

\displaystyle  \begin{array}{rcl}  h_t(x)=(4\pi t)^{-t/2}\exp(-|x|^2/4t) \end{array}

engendre un opérateur de convolution {H_t (f)=h_t\star f} qui forme un semi-groupe, solution de l’équation de la chaleur

\displaystyle  \begin{array}{rcl}  \partial_t u=\Delta u,\quad u(.,0)=f. \end{array}

Au moyen de la mesure gaussienne {d\gamma_n}, on peut aussi écrire

\displaystyle  \begin{array}{rcl}  H_t f(x)=\int f(x+\sqrt{2t}y)\,d\gamma_n(y), \end{array}

et, au moyen du mouvement brownien {W_t^x} issu de {x},

\displaystyle  \begin{array}{rcl}  H_t f(x)=\mathop{\mathbb E}( f(W_t^x)). \end{array}

2. L’inégalité de Hölder

Soit {\theta\in]0,1[}. L’inégalité de Hölder énonce que

\displaystyle  \begin{array}{rcl}  \int f^\theta g^{1-\theta}\leq(\int f)^\theta(\int g)^{1-\theta}. \end{array}

On va montrer que, pour tout {t>0},

\displaystyle  \begin{array}{rcl}  H_t(f^\theta g^{1-\theta})\leq (H_t f)^{\theta}(H_t g)^{1-\theta}. \end{array}

L’inégalité de Hölder en découle.

On utilise une inégalité d’interpolation, attribuée parfois à Duhamel : on montre que

\displaystyle  \begin{array}{rcl}  \Lambda(s)=(H_{t-s} f)^{\theta}(H_{t-s} g)^{1-\theta} \end{array}

est décroissante. On note {F=\log H_{t-s}f}, {G=\log H_{t-s}g} et {K=\theta F+(1-\theta)G}. On dérive.

\displaystyle  \begin{array}{rcl}  \Lambda'(s)&=&H_s(\Delta(e^K)-[\theta e^{-F}\Delta F+(1-\theta)e^{-G}\Delta G])\\ &=&H_s(|\nabla K|^2 -\theta|\nabla F|^2 -(1-\theta)|\nabla G|^2) \leq 0. \end{array}

Remarquer que gr\^ace à la chaleur, on se ramène à une inégalité quadratique, ce qui ouvre la porte à d’autres inégalités géométriques.

3. Inégalités de Brascamp-Lieb

Elles améliorent Hölder le long de certaines directions. Soient {u_1,\ldots,u_m} des vecteurs unitaires de {{\mathbb R}^n}, {0\leq c_k\leq 1}, {f_k:{\mathbb R}\rightarrow{\mathbb R}_+}. Alors

\displaystyle  \begin{array}{rcl}  \int_{{\mathbb R}^n}\prod_{k=1}^{m}f_k^{c_k}(\langle u_k,x\rangle)\,dx \leq \prod_{k=1}^{m}\int_{{\mathbb R}^n}(f_k(\langle u_k,x\rangle)\,dx)^{c_k}. \end{array}

Keith Ball en a mis en évidence une version géométrique. Supposons que

\displaystyle  \begin{array}{rcl}  \sum_{k=1}^{m}c_k u_k \otimes u_k=Id_{{\mathbb R}^n}, \end{array}

(décomposition de l’identité). Alors l’inégalité résulte de la décroissance sous le semi-groupe de la chaleur de

Rempla\c cons la mesure de Lebesgue par la mesure gaussienne. C’est la mesure invariante du semi-groupe d’Ornstein-Uhlenbeck,

\displaystyle  \begin{array}{rcl}  P_t f(x)=\int f(e^{-t}x+\sqrt{1-e^{-2t}}y)\,d\gamma_n(y), \end{array}

associé au générateur infinitésimal {L=\Delta-x\cdot\nabla}.

3.1. Exemple de décomposition de l’identité

Soit {u_1=(1,0)} et {u_2=(\rho,\sqrt{1-\rho^2})}. Si {\rho^2 c_1 c_2=(c_1-1)(c_2-1)}, on a une décomposition de l’identité, et l’inégalité de Brascamps-Lieb donne

\displaystyle  \begin{array}{rcl}  \int f_1^{c_1}P_t(f_2^{c_2})d\gamma\leq (\int f_1^{1/c_1})^{c_1}(\int f_2^{1/c_2})^{c_2}. \end{array}

Cela donne le Théorème d’hypercontractivité de Nelson (1966),

\displaystyle  \begin{array}{rcl}  \|P_t f_2\|_{p_2}\leq\|f_2\|_{p_1}, \end{array}

où on a posé {p_i=1/c_i}, soit

\displaystyle  \begin{array}{rcl}  \frac{1}{\rho^2}=\frac{p_1-1}{p_1-1}. \end{array}

3.2. Résumé

On a examiné une expression du type

\displaystyle  \begin{array}{rcl}  \int\int f(x)^\alpha g(\rho x+\sqrt{1-\rho^2}y)^\beta \,d\gamma(x)\,d\gamma(y), \end{array}

On a remplacé {f} par {P_t f}.

4. Généralisation possible

Soit {J} une fonction réelle sur un produit d’intervalles. Quant a-t-on

\displaystyle  \begin{array}{rcl}  \int\int J(f(x),g(\rho x+\sqrt{1-\rho^2}y)) \,d\gamma(x)\,d\gamma(y)\leq J(\int f\,d\gamma,\int g\,d\gamma) ? \end{array}

On montre que ceci a lieu si et seulement si {J} a la propriété de concavité suivante

\displaystyle  \begin{array}{rcl}  \begin{pmatrix} \partial_{11}J & \rho\partial_{12}J \\ \rho\partial_{21}J & \partial_{22}J \end{pmatrix}\leq 0. \end{array}

Appelons cela {\rho}-concavité.

4.1. Exemples

Brascamp-Lieb

\displaystyle  \begin{array}{rcl}  J(u,v)=u^\alpha v^\beta. \end{array}

Mossel, Neeman (2012)

\displaystyle  \begin{array}{rcl}  J(u,v)=\mathop{\mathbb P}(X\leq\Phi^{-1}(x),Y\leq\Phi^{-1}(v)) \end{array}

{X} et {Y} sont gaussiennes standard et {\rho}-corrélées, {\Phi} la fonction de répartition gaussienne. Comme {J(0,v)=J(u,0)=0} et {J(1,1)=1}, pour tous ensembles mesurables {A} et {B},

\displaystyle  \begin{array}{rcl}  \int 1_A P_t 1_B \,d\gamma\leq J(\gamma(A),\gamma(B)). \end{array}

Si {H} et {K} sont des demi-espaces parallèles de m\^emes mesures gaussiennes que {A} et {B},

\displaystyle  \begin{array}{rcl}  J(\gamma(A),\gamma(B))=J(\gamma(H),\gamma(K))=\int 1_H P_t 1_K. \end{array}

C’est une inégalité due à Christer Borell (1985), qui utilisait la symétrisation gaussienne, en s’inspirant de Brascamp et Lieb, qui utilisaient le réarrangement (1976). Barthe (1998) a utilisé le transport optimal, l’utilisation de la chaleur dans ce contexte est due à Carlen-Lieb-Loss (2004), Bennett-Carbery-Christ-Tao (2008).

Cette inégalité entra\^{\i}ne l’inégalité isopérimétrique gaussienne.

On peut introduire un potentiel plus convexe que quadratique {V} et la mesure {e^{-V}\,dx}.

5. Le cube discret

Ca a l’air plus simple, mais en réalité, le cube est plus difficile que {{\mathbb R}^n} gaussien. M\^eme {n=1}, {\{-1,1\}} n’est pas si simple.

On a joué avec {X}, {Y} des gaussiennes standard {\rho}-corrélées. L’analogue booléen est un couple {U,V} de variables dont la loi jointe est {(1+\rho xy)\,dx\,dy}.

Quand a-t-on l’inégalité

\displaystyle  \begin{array}{rcl}  \int\int J(f(x),g(y)(1+\rho xy))\,dmu(x)\,d\mu(y)\leq J(\int f\,d\mu,\int g\,d\mu) ? \end{array}

Autrement dit, il s’agit d’une inégalité à 4 points

\displaystyle  \begin{array}{rcl}  \frac{1}{4}J(u,v)+\frac{1}{4}(1+\rho)J(u',v')+\frac{1}{4}(1-\rho)J(u',v)+\frac{1}{4}(1-\rho)J(u,v')\leq J(\frac{u+u'}{2},\frac{v+v'}{2}). \end{array}

Elle est vraie pour {u^\alpha v^\beta} (cela résulte indirectement de l’inégalité de Bonami-Beckner), mais je ne sais pas la démontrer directement. Elle résulte de la {\rho}-concavité. La réciproque est fausse : la fonction du théorème de Borell ne la satisfait pas (prendre {f}, {g} affines et tester sur des dictateurs).

L’analogue du théorème de Borell pour le cube discret consiste à déterminer les ensembles de mesure moitié qui maximisent la stabilité au {\rho}-bruit. Les dictateurs sont systématiquement des contre-exemples, il faut les exclure. C’est le r\^ole de l’influence {I_i(A)=\mu^n\{\}}.

Theorem 1 (Majority is stablest, Mossel-O’Donnell-Oleskiewicz 2010) Soit {M=\{x\in\{-1,1\}^n\,;\,\mathrm{signe }(\sum x_i)=+\}}. Sa stabilité au {\rho}-bruit est {J^B_\rho(\frac{1}{2},\frac{1}{2})} (formule de Sheppard (1899)). Pour tout {\epsilon>0}, il existe {\sigma(\epsilon,\rho)>0} tel que si {\mu^n(A)=\frac{1}{2}} a des influences toutes {\leq\sigma}, alors la stabilité au {\rho}-bruit satisfait

\displaystyle  \begin{array}{rcl}  S_\rho(A)\leq J^B_\rho(\frac{1}{2},\frac{1}{2})+\epsilon. \end{array}

La première preuve passait par le cas gaussien. Une nouvelle démonstration, due à De-Mossel-Neeman (2013), s’appuie sur l’inégalité à 4 points, sauf qu’il y a un reste qu’on peut majorer avec les influences, au moyen de l’hypercontractivité. Cela donne l’impression qu’en changeant de fonction {J}, qui combinerait {J^B} et le {J} de l’hypercontractivité, on pourrait prouver le théorème d’un seul coup.

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metric2011 is a program of Centre Emile Borel, an activity of Institut Henri Poincaré, 11 rue Pierre et Marie Curie, 75005 Paris, France. See http://www.math.ens.fr/metric2011/
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