Notes of Peter Haissinsky’s july 2013 lecture

Groupes hyperboliques de bord planaire

Il s’agit d’un survol destiné à souligner les difficultés rencontrées dans l’étude de la conjecture de Cannon.

1. La conjecture de Cannon

1.1. Groupes kleinéens

Un groupe kleinéen {G} est un sous-groupe discret d’isométries de l’espace hyperbolique de dimension 3. {G} agit par homographie sur la sphère à l’infini, laquelle se décompose en un fermé invariant, l’ensemble limite {\Lambda} (adhérence commune à toutes les orbites) et son complémentaire {\Omega}, sur lequel l’action est proprement discontinue.

On dit que {G} est convexe-cocompact si l’action sur l’enveloppe convexe de l’ensemble limite est cocompacte. Dans ce cas, {M_G=G\setminus(H^3 \cup \Omega)} est une variété de dimension 3 compacte à bord.

Theorem 1 (Thurston-Perelman) Si {M} est une variété orientable, irréductible, compacte à bord, de dimension 3, de groupe fondamental infini mais ne contenant aucun sous-groupe isomorphe à {{\mathbb Z}\oplus{\mathbb Z}}, alors il existe un groupe kleinéen convexe-cocompact {G} tel que {M} est difféomorphe à {M_G}.

L’objectif est de sortir du cadre des 3-variétés.

1.2. Propriété de convergence uniforme

Soit {Z} un espace compact métrisable. Une action de groupe sur {Z} est de convergence uniforme si par homéomorphismes et l’action diagonale sur les triplets de points disctincts est proprement discontinue et cocompacte.

La classe des groupes possédant une action de convergence uniforme coincide avec la classe des groupes hyperboliques au sens de Gromov (l’action étant l’action sur le bord à l’infini).

Par conséquent, l’action d’un groupe sur le bord, du seul point de vue topologique, contient déjà beaucoup d’informations. Cela motive la question suivante.

Conjecture. Soit {G} un groupe hyperbolique dont le bord est planaire. Alors {G} est virtuellement isomorphe à un groupe kleinéen convexe cocompact.

Cela contient deux questions classiques.

Conjecture (Cannon). Soit {G} un groupe hyperbolique dont le bord est une 2-sphère. Alors {G} est virtuellement isomorphe à un groupe kleinéen cocompact.

Conjecture (Kapovitch-Kleiner). Soit {G} un groupe hyperbolique dont le bord est homéomorphe au tapis de Sierpinsky. Alors {G} est virtuellement isomorphe à un groupe kleinéen convexe cocompact.

Kapovitch et Kleiner on ramené leur conjecture à celle de Cannon.

Haïssinsky a montré que

  1. si la conjecture de Kapovitch-Kleiner est vraie,
  2. si {G} n’a pas de 2-torsion,
  3. et si le bord de {G} est planaire sans etre toute la sphère,

alors {G} est virtuellement kleinéen.

2. Approche analytique

2.1. Stratégie

On fixe un système générateur fini. On place une boule de rayon 1 à chacun des points d’une orbite dans {{\mathbb R}^3} et on considère son ombre portée sur le bord. Soit {\mathcal{S}_n} la collection des ombres correspondant aux éléments de {G} de longueur {\leq n}.

Son graphe d’incidence est une triangulation de degré borné de la 2-sphère. Il y a un empilement de cercles associé (Koebe) : il a le meme graphe d’incidence. Soit {\phi_n} l’application qui envoie chaque centre d’ombre de {\mathcal{S}_n} sur le centre du cercle associé.

But. Montrer que les {\phi_n} sont uniformément équicontinues et que toute limite est un homéomorphisme.

Si on y arrive, on a gagné.

2.2. Modules de courbes

D’après Cannon, il s’agit de controler des modules d’anneaux, à définir proprement. Commencons par la définition classique, dans un espace métrique mesuré {Z}.

Definition 2 Soit {\Gamma} une famille de courbes, {p\geq 1}. Son module {mod_p(\Gamma)} est la borne inférieure, sur toutes les fonctions boréliennes {\rho} dont l’intégrale sur chaque courbe {\gamma} de la famille est {\geq 1}, de {\int_Z\rho^p}.

Example 1 {Z={\mathbb C}}, {p=2}, {\Gamma=} les courbes qui traversent d’un bord à l’autre d’un anneau {A}. Le nombre obtenu est l’unique invariant des anneaux à bijection conforme près. Si {\Gamma=} les lacets qui font le tour du trou, le nombre obtenu est l’inverse du précédent.

On n’a pas de distance canonique, mais, à la place, le recouvrement ouvert {\mathcal{S}_n}. En remplacant chaque intégrale par une somme, on obtient un nombre {mod_p(\Gamma,\mathcal{S}_n)}.

L’application {\phi_n} envoie un anneau sur la réunion des cercles centrés aux points de {\phi_n(A)}, kégèrement augmentés pour garnir les trous entre cercles. Pour {n} assez grand, c’est à nouveau un anneau.

Proposition 3

\displaystyle  \begin{array}{rcl}  mod_2(A,\mathcal{S}_n)\sim mod_2(\phi_n(A)). \end{array}

Theorem 4 Soit {G} un groupe hyperbolique dont le bord est homéomorphe à la 2-sphère. Supposons établi que pour tout anneau {A} du bord, il existe {m>0} tel que pour tout {n} assez grand,

\displaystyle  \begin{array}{rcl}  mod_2(A,\mathcal{S}_n) \geq m, \end{array}

Alors {G} est virtuellement kleinéen.

En fait, il suffit de minorer les modules d’un nombre fini d’anneaux.

Corollary 5 (Bourdon-Kleiner) Soit {G} un groupe hyperbolique dont le bord est homéomorphe à la 2-sphère. Supposons établi qu’il existe {\delta>0} tel que les modules {mod_2(\Gamma_\delta,\mathcal{S}_n)} restent bornés, où {\Gamma_\delta} est la famille des courbes de diamètre {\geq \delta}. Alors {G} est virtuellement kleinéen.

Il en résulte (mais c’était déjà connu) que tout groupe de Coxeter hyperbolique dont le bord est homéomorphe à la 2-sphère est virtuellement kleinéen.

3. La jauge conforme

La jauge conforme de {G} est l’ensemble des distances Ahlfors-régulières sur le bord de {G} pour lesquelles l’action de {G} est uniformément quasi-Mobius.

Uniformément quasi-Mobius signifie que les birapports sont préservés à un homéomorphisme de {{\mathbb R}_+} près.

Cette famille de distances est non vide (Gromov, Coornaert), deux distances de la jauge sont quasi-Mobius.

Definition 6 La dimension conforme Ahlfors-régulière de {G}, {dim_{AR}(G)}, est la borne inférieure des dimensions de Hausdorff des métriques de la jauge.

C’est un invariant topologique de l’action de {G} sur son bord.

Theorem 7 (Bonk-Kleiner) Soit {G} un groupe hyperbolique dont le bord est homéomorphe à la 2-sphère. Si la dimension conforme Ahlfors-régulière est atteinte, alors {G} est virtuellement kleinéen.

Ils montrent qu’une métrique minimisante est Loewner, ce qui donne une borne inférieure sur le module, qui, à son tour, minore {mod_Q(A,\mathcal{S}_n)\leq mod_2(A,\mathcal{S}_n)}. Ce n’est pas exactement comme cela qu’ils procèdent, je mélange leur méthode et celle de Cannon et al.

4. Difficultés restantes

4.1. Instabilité des modules analytiques

On sait montrer qu’il existe une famille de courbes {\Gamma} de {mod_Q(\Gamma)>0} si et seulement si {Q=dim_{AR}(G)}. Autrement dit, si la dimension conforme Ahlfors-régulière n’est pas atteinte, on ne peut rien tirer des modules analytiques.

Espoir : les modules combinatoires

Theorem 8 (Keith-Kleiner, Carrasco)

\displaystyle  \begin{array}{rcl}  dim_{AR}(G)=\inf\{Q\geq 2\,;\, \lim_{n\rightarrow\infty}mod_Q(\Gamma_\delta,\mathcal{S}_n)=0\}. \end{array}

4.2. Faiblesse des modules combinatoires

On ne sait pas établir la sous-additivité dénombrable. On aimerait savoir que si des familles de courbes {\Gamma_k} satisfont {\lim_{n\rightarrow\infty}mod_Q(\Gamma_k,\mathcal{S}_n)=0}, alors

\displaystyle  \begin{array}{rcl}  \lim_{n\rightarrow\infty}mod_Q(\bigcup_{k}\Gamma_k,\mathcal{S}_n)=0. \end{array}

4.3. Contre exemples

Il existe des distances sur {{\mathbb C}} qui sont {Q}-Ahlfors-régulières, mais telles que, pour tout anneau {A}, {mod_2(A,\mathcal{S}_n)} tend vers 0. Il s’agit des paillassons de Rickman.

5. Approche de Markovic

Markovic : construire une action sur un complexe cubique {CAT(0)}. utiliser les sous-groupes de surfaces.

Calegari-Walker : inspiré par les groupes aléatoires. Ne marche que lorsque les relateurs sont longs.

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