Notes of Gregoire Charlot’s lecture

Asymptotique en temps petit du noyau de la chaleur riemannien et sous-riemannien

Avec D. Barilari, U. Boscain et R. Neel.

1. Cadre

1.1. Géométrie

Soient {X_i} un champ de repères orthonormés. On suppose que la condition d’Hörmander est satisfaite, et qu’il n’y a pas de géodésiques anormales. Alors les géodésiques sont les projections des bicaractéristiques du hamiltonien

\displaystyle  \begin{array}{rcl}  H(q,\lambda)=\frac{1}{2}\sum_{i}\lambda(X_i(q))^2 . \end{array}

Les bicaractéristiques sont données par les commandes {u_i=\lambda(X_i)}, sujettes à

\displaystyle  \begin{array}{rcl}  \dot{q}=\frac{\partial H}{\partial\lambda},\quad \dot{\lambda}=-\frac{\partial H}{\partial q}. \end{array}

On obtient une application exponentielle (défini sur le cotangent), un lieu conjugué (valeurs singulières de l’exponentielle) et un lieu de coupure pour chaque point. L’exponentielle est une application lagrangienne (composition d’un paramètrage d’une lagrangienne du cotangent avec la projection).

Si {q\in Cut(p)}, alors, ou bien il y a deux géodésiques minimales entre {p} et {q}, ou bien la géodésique unique de {p} et {q} est moins rapide que certaines des géodésiques voisines.

1.2. Chaleur

On a un gradient sous-riemannien {\nabla}. On se donne un élément de volume, la divergence s’en déduit, d’où {\Delta=div\circ\nabla}, et un noyau de la chaleur {p_t}. Parfois (cas équirégulier), il y a un volume naturel, mais ce n’est pas le cas général.

2. Résultats

2.1. Connus

Theorem 1 (Benarous 1990) Si {x\not=y} et {y\notin Cut(x)}, alors, pour {t} petit,

\displaystyle  \begin{array}{rcl}  p_t (x,y)=\frac{1}{t^{n/2}}e^{-d^2(x,y)/4t}(C_0(x,y)+O(t)), \end{array}

{O} est uniforme sur les compacts.

Que faire si {y\in Cut(x)} ? Molchanov a proposé d’utiliser la formule {p_{2t}=p_t \star p_t}. On obtient une intégrale où la contribution principale vient des milieux des géodésiques minimisantes de {x} à {y}, minima de la fonction {h_{x,y}(z)=\frac{1}{2}(d^2(x,z)+d^2(z,y))}. Tout dépend du développement limité de {h} au voisinage des minima.

Theorem 2 (Barilari-Boscain-Neel) Soit {x\not=y}, {\gamma} une géodésique de {x} à {y}, {z} le milieu. Soit {\lambda(t)} une famille à un paramètre de conditions initiales, {z(t)} la position au temps moitié. Alors {y} est conjugué à {x} le long de {\gamma} le long de {\dot{\lambda}(0)} si et seulement si {\dot{z}(0)} appartient au noyau de la hessienne de {h} en {z=z(0)}.

La différentielle de {h} en {z'}, milieu de {[x,y']}, est {\lambda+\eta}, où {\lambda} (resp. {\eta}) est le covecteur tangent à la géodésique minimisante de {x} (resp. {y}) à {z'}. Comme l’exponentielle est un difféo local, c’est du m\^eme ordre que {y'-y}. Cela permet de minorer l’ordre de singularité de {h} par celui de l’exponentielle.

2.2. Nouveaux

Si le noyau de la hessienne est de dimension 1, on peut donner une forme normale pour {h(x_1,\ldots,x_n)=x_1^2+\cdots+x_{n-1}^2+\phi(x_n)}. On voit que la minoration obtenue ci-dessus est optimale.

La classification des singularités génériques d’applications lagrangiennes peut aider. Exemple : {D_{4^-} : (x,y,z)\mapsto(x^2-y^2+xz,xy,z)}. On la rencontre comme singularité du lieu conjugué, mais on peut voir qu’elle ne peut pas apparaitre au lieu de coupure conjugué. On montre que, dans la classification des singularités stables d’Arnold, seulement {A_3} et {A_5} peuvent apparaitre. Cela donne les singularités génériques riemanniennes de {h} jusqu’en dimension 5, d’où les exposants possibles de {t} dans le développement de {p_t(x,y)}.

Cas sous-riemannien : il y a une conjecture, établie seulement dans le cas contact jusqu’à présent (Agrachev-Gauthier). Cela permet, en basse dimension, de déterminer les exposants génériques. Le résultat semble contredire un théorème de Léandre des années 80.

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metric2011 is a program of Centre Emile Borel, an activity of Institut Henri Poincaré, 11 rue Pierre et Marie Curie, 75005 Paris, France. See http://www.math.ens.fr/metric2011/
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