Notes of Bruno Franchi’s lecture

Sharp a priori estimates for div-curl systems in Heisenberg groups

Joint with Annalisa Baldi.

1. Théorie Euclidienne

Dans {{\mathbb R}^3}, le système {curl(Z)=f}, {div(Z)=0} possède une solution de la forme {(-\Delta)_{-1}curl(f)}, avec {\|Z\|_{p*}\leq C\,\|f\|_p}, {\frac{1}{p*}=\frac{1}{p}-\frac{1}{3}}.

Pour {p=1}, une telle estimée subsiste (Bourgain et Brezis, 2004). Cela ne résulte pas de la théorie de Calderon-Zygmund. Cela s’apparente plutôt à l’inégalité de Gagliardo-Nirenberg.

Bourgain-Brezis et Gagliardo-Nirenberg sont des cas particuliers d’une famille d’inégalités pour les formes différentielles.

Theorem 1 (Lanzani-Stein 2005) Soit {u} une {h}-forme différentielle à support compact sur {{\mathbb R}^n}. Alors, si {h\not=1}, {n-1},

\displaystyle  \begin{array}{rcl}  \|u\|_{n/n-1}\leq C\,(\|du\|_1 + \|\delta u\|_1). \end{array}

En degrés {1} et {n-1}, il faut remplacer une des normes {L^1} par une norme {\mathcal{H}^1} (espace de Hardy).

2. Cas des groupes d’Heisenberg

On va s’appuyer sur le résultat suivant.

Theorem 2 (Chanillo-Van Schaftinger 2009) Si {\Phi} est un champ horizontal et {F} une 1-forme horizontale à divergence horizontale nulle, alors

\displaystyle  \begin{array}{rcl}  \langle F,\Phi\rangle_{2}\leq C\|F\|_1\|\nabla\Phi\|_Q. \end{array}

Il y a une version tensorielle.

Remarquer que {W^{1,Q}} n’est pas contenu dans {L^{\infty}} (cas limite), et donc qu’il faudrait gagner un peu pour borner {\|\Phi\|_{\infty}}. On y parvient, au moyen d’une intégration par parties lorsque la divergence est nulle.

2.1. Le complexe de Rumin

C’est un complexe de formes différentielles, invariant par translations à gauche et par dilatations dans {\mathbb{H}^n}. Il est formé des sections de sous-fibrés de l’algèbre extérieure de l’algèbre de Lie. Il est localement exact. Il commence par {0\rightarrow{\mathbb R}\rightarrow E^1 =} 1-formes horizontales. Il possède un opérateur de Hodge. Les flèches {d_c} sont des opérateurs différentiels, d’ordre 1 sauf celui du milieu qui est d’ordre 2.

Par exemple, lorsque {n=1}, {E} est formé des formes de degré vertical 0 (en degrés 0 et 1) et de degré vertical 1 (en degrés 2 et 3).

2.2. Résultat

Theorem 3 (Baldi-Franchi 2013) Soit {u} une {h}-forme différentielle à support compact sur {\mathbb{H}^1},

\displaystyle  \begin{array}{rcl}  \|u\|_{Q/Q-1}&\leq& C\,\|d_c u\|_1 \quad \textrm{en degr\'e }0.\\ \|u\|_{Q/Q-2}&\leq& C\,(\|d_c u\|_1 + \|d_c\delta_c u\|_{\mathcal{H}^1}) \quad \textrm{en degr\'e }1.\\ \|u\|_{Q/Q-2}&\leq& C\,(\|d_c u\|_{\mathcal{H}^1} + \|\delta_c u\|_1) \quad \textrm{en degr\'e }2.\\ \|u\|_{Q/Q-1}&\leq& C\,\|\delta_c u\|_1 \quad \textrm{en degr\'e }3.\\ \end{array}

Résultat analogue pour {\mathbb{H}^2}.

2.3. Idée de la preuve

Rumin a introduit le laplacien {\Delta=\delta_c d_c +(d_c \delta_c)^2}. Il prouve qu’il est hypo-elliptique maximal : la norme {L^2} de {\Delta u} contr\^ole les normes {L^2} de toutes les dérivées horizontales jusqu à l’ordre 4.

On a besoin d’un peu plus : une expression plus ou moins explicite de la solution fondamentale. Ce noyau {K} est {C^{\infty}} hors de l’origine. Comme on est en dimension 4 est que le laplacien est de degré 4, {K} devrait être homogène de degré 0. En réalité, il est logarithmique (comme pour le laplacien en dimension 2),

\displaystyle  \begin{array}{rcl}  |K(p)|\leq C\,(1+\log\rho(p)), \end{array}

et ses dérivées horizontales (d’ordre 1, resp. 2) sont homogènes (de degré {-1}, resp. {-2}).

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metric2011 is a program of Centre Emile Borel, an activity of Institut Henri Poincaré, 11 rue Pierre et Marie Curie, 75005 Paris, France. See http://www.math.ens.fr/metric2011/
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