Notes de la conférence de Jean-Pierre Kahane aux étudiants de la licence d’Orsay

Notes d’une conférence prononcée par Jean-Pierre Kahane pour la remise des diplômes de licence mention mathématiques à Orsay, le 26 novembre 2012.

Qu’est ce que Fourier peut nous dire aujourd’hui ?

La semaine dernière, à l’IHP, on célébrait Poincaré. De belles conférences de maths, physique, philosophie. Pendant ce temps, j’étais à Nancy, à un petit colloque sur les erreurs en science. J’ai parlé une bonne heure sur le thème Des erreurs de Fourier aux erreurs sur Fourier, je vous en présente un extrait.

Des erreurs, il y en a, on n’en parle pas beaucoup dans les cours. Poincaré a cru démontrer la stabilité du système solaire, dans un modèle réduit (3 corps). Son mémoire faisait plusieurs centaines de pages. Il a été imprimé par Acta Mathematica. Poincaré a fait retirer tous les exemplaires distribués, il a travaillé comme un diable, il a compris que le résultat était faux, il a modifié son manuscrit, considéré aujourd’hui comme une source commune à plusieurs domaines des mathématiques, les systèmes dynamiques, la théorie ergodique. L’erreur a été féconde.

Cette aptitude à transformer une erreur en quelque chose de positif, tout le monde ne l’a pas au même point que Poincaré. L’histoire que je vais raconter est différente : il y a des erreurs de Fourier, sur Fourier, sur les erreurs de Fourier. Les séries, la transformation de Fourier, vous connaissez. Il y en a partout. Pourquoi ? Une grandeur X est mesurée. De l’appareil sort un signal AX qui est une convolution. La transformée de Fourier transforme la convolution en produit.

Joseph Fourier est aujourd’hui célèbre : un moteur de recherche peut trouver instantanément 10 millions de références. Fourier est aussi le découvreur de l’effet de serre. Une université porte son nom, à Grenoble. En 2005, pour l’année internationale de la physique, Fourier a été inclus dans la liste des grand physiciens français.

En 1974, l’Encyclopédie Universalis oublie Fourier (réparé depuis). Sans doute trop physicien pour être un bon mathématicien, trop mathématicien pour être un bon physicien ? Depuis, Fourier a bénéficié du rapprochement entre maths et physique. Voir l’ouvrage de Dhombres et Robert (1998) Fourier, créateur de la physique mathématique.

Les oeuvres complètes de Fourier n’ont jamais été réunies. Ses lettres et archives n’ont pas été recensées. Darboux trouvait l’importance attribuée par Fourier à l’analyse convexe (qu’il a créée) excessive. Dans Les Misérables, Victor Hugo évoque l’année 1817. Il égrenne en phrases courtes un panorama de ce qui s’est passé en France. Il y avait à l’Académie des Sciences un Fourier célèbre que la postérité a oublié, et dans je ne sais quel grenier, un Fourier obscur dont la postérité se souviendra. Le Fourier célèbre, c’est Joseph. Il n’y a pas de rue Joseph Fourier à Paris. Hugo tenait sans doute ce jugement d’Arago, astronome, qui a écrit une notice sur Fourier à sa mort, en 1830. Arago est enthousiaste de la vie de Fourier. Fourier a traversé une époque tourmentée, et il a participé à la vie publique : Révolution française, expédition d’Egypte (préfacier de la Description de l’Egypte, il a rapporté les documents qui ont permis à Champollion de déchiffrer les hiéroglyphes), Ecole Normale de l’an III, où il suit les cours de Lagrange, Laplace, Monge. Enseignant à l’Ecole Polytechnique. Bonaparte le nomme préfet de l’Isère, département difficile.

C’est à Grenoble que Fourier écrit son oeuvre maîtresse, Théorie analytique de la chaleur. Il y a eu plusieurs étapes. Premier dépôt en 1807, pas de rapport, pas d’impression. En 1811, un prix est proposé pour l’étude de la diffusion de la chaleur. Le manuscrit remanié de Fourier obtient le prix. En 1817, Fourier est élu à l’Académie des Sciences. En 1830, mort de Fourier.

Fourier a renoncé à ses voeux ecclésiastiques lors de la Révolution. Dans sa notice, Arago accorde un grande place à l’histoire mouvementée de Fourier, mais rien sur la transformation de Fourier. Le rapport établi pour le prix est enthousiaste, notamment de l’obtention de l’équation de la chaleur, mais il juge que le traitement est insuffisamment rigoureux. Dans le jury, Lagrange (mécanique analytique, théorie des nombres) savait qu’on ne peut pas développer une fonction en série trigonométrique. En effet, 50 ans plus tôt, cette question avait fait l’objet d’intenses débats entre Daniel Bernoulli, D’Alembert, Euler, Lagrange. Dans les écrits de Lagrange, on trouve une réfutation, mais inexacte (Lagrange suppose le développement valable au-delà du domaine indiqué par Fourier). Cette réticence de Lagrange a sans doute influencé de nombreux mathématiciens et peut-être jusqu’à Hugo.

L’équation de Fourier, i.e. l’équation de la chaleur, une fois débarrassée de ses coefficients physiques, c’est {\frac{\partial u}{\partial t}=\Delta u}. L’établir occupe toute la première partie du mémoire de Fourier. Le premier exemple traité est une barre conductrice en contact avec de l’eau bouillante à la base et de la glace sur les parois. A l’état stationnaire, l’équation est simplement {\Delta u=0}. Fourier observe qu’il y a des solutions particulières, compatibles avec l’état des parois, de la forme

\displaystyle  \begin{array}{rcl}  e^{-y} \cos(x),\quad \textrm{ et aussi }\quad e^{-3y}\cos(3x). \end{array}

Fourier a l’idée surprenante de décomposer la fonction constante 1 comme somme d’une série

\displaystyle  \begin{array}{rcl}  1=a \cos(x)+b \cos(3x)+\cdots, \end{array}

et en déduit l’expression de la solution

\displaystyle  \begin{array}{rcl}  u(x,y)=a e^{-y} \cos(x)+ b e^{-3y} \cos(3x)+\cdots. \end{array}

Ses contemporains ont eu du mal à digérer cette idée. Fourier a un style auquel il faut se faire : il écrit la formule, et il affirme qu’on peut aisément la vérifier. Il observe que la solution est une série rapidement convergente, ce qui, à son avis, justifie le développement. Il démontre la formule plusieurs pages plus loin. La suite du manuscrit (50 pages) consiste à exprimer toute une série d’exemples de fonctions en séries trigonométriques. A la fin, il énonce que toute fonction est développable en série trigonométrique sur un ensemble convenable, avec des coefficients donnés par des intégrales.

Pour pouvoir appliquer ces formules, il faut que la fonction soit intégrable (comme l’a observé Dirichlet dans les années 1830). Dirichlet a prouvé le cas des fonctions monotones par morceaux. Il a annoncé revenir ensuite au cas des fonctions continues. Mais du Bois Raymond, en 1880, a donné un contre-exemple. La série de Fourier d’une fonction continue peut-elle diverger partout ? J’y croyais, au début, jusqu’à ce que, en 1966, Carleson prouve que pour les fonctions continues, la série de Fourier converge presque partout. Voyez la lenteur à laquelle la théorie avance.

En 1854, Riemann soutient ses thèses, une d’entre elles parle de séries trigonométriques. Riemann commence par une étude historique. Puis il remarque qu’il faut s’entendre sur ce qu’on appelle intégrale, il définit l’intégrabilité au sens de Riemann. Fonction intégrable n’a pas une définition universelle. Il y en a plusieurs, portant des noms d’auteurs (Lebesgue, Denjoy, Schwartz,…). A tous les niveaux, il y a une notion de coefficient de Fourier, d’où de multiples notions de séries de Fourier. Il y a aussi une difficulté avec la notion de série convergente. Il y a de nombreuses facons de donner un sens à la somme d’une série.

Quelques citations de Fourier

A propos de l’intérêt des recherches sur la propagation de la chaleur (Discours préliminaire à la théorie analytique de la chaleur, 1822) :

… ces recherches intéressent les sciences physiques et l’économie civile, … les progrès des arts, … le système du monde… les grands phénomènes qui s’accomplissent près de la surface du globe terrestre… Suivent 2 pages d’explications, puis une série de questions ...telles sont questions principales que j’ai résolues …

Les principes de cette théorie sont déduits, comme ceux de la mécanique rationnelle, d’un très petit nombre de faits primordiaux….

Les équations différentielles de la propagation de la chaleur expriment les conditions les plus générales, et ramènent les questions physiques à des problèmes d’analyse pure, ce qui est proprement l’objet de la théorie…

Après avoir établi ces équations différentielles, il fallait obtenir les intégrales… Cette recherche difficile exigeait une analyse spéciale, fondée sur des théorèmes nouveaux. La méthode qui en dérive ne laisse rien de vague et d’indéterminé dans les solutions ; elle les conduit jusqu’aux dernières applications numériques, condition nécessaire de toute recherche, et sans laquelle on n’arriverait qu’à des transformations inutiles.

L’étude approfondie de la nature est la source la plus féconde des découvertes mathématiques. (Cette idée me convient, mais lorsque j’étais étudiant, elle aurait été considérée comme iconoclaste).

L’analyse mathématique est aussi étendue que la nature elle-même… Elle rapproche les phénomènes les plus divers, et découvre les analogies secrètes qui les unissent.

Elle semble être une faculté de la raison humaine destinée à suppléer à la brièveté de la vie et à l’imperfection des sens…

A propos de la raison (manuscrit BN 22501 page 10).

Les progrès que la raison a faits dans les derniers siècles ne permettent plus de comparer cette époque à aucune de celles dont l’histoire nous a laissé le souvenir. Nous ne pouvons pas juger par l’histoire de l’influence que les sciences auront sur le bonheur des hommes et sur l’état des sociétés.

Fourier a été mêlé au tourbillon de la vie publique. La confiance dans la raison a été sa boussole. A l’heure actuelle, il n’est pas certain que tout le monde fasse confiance à la raison, aux sciences, et aux mathématiques. Vous êtes les héritiers de cette aventure. Nous savons peu de choses de l’avenir. Personnellement, j’ai assez confiance dans les ressources de l’humanité pour se sortir des mauvais pas où elle s’est engluée. Je voudrais exprimer mon souhait que vous-mêmes, vous ayez confiance en vous et en votre avenir.

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metric2011 is a program of Centre Emile Borel, an activity of Institut Henri Poincaré, 11 rue Pierre et Marie Curie, 75005 Paris, France. See http://www.math.ens.fr/metric2011/
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